A: Hey, I can put you up.

Me: Put me up?

実際に交わした会話ですが、これはスラングらしいです。アメリカのスラングだと思われます。他のスラング、たとえば、イギリス、ニュージーランド、カナダのスラングかどうかは分かりません。

さて、これはどういう事でしょうか？

これはすなわち、「うちに泊まれるよ」という意味です。

I can put you up = I can let you stay at my home.

そう言うことらしいですね。初めて聞きました。

気をつけたいのが、Put up with you。これと混同したらないと言うことです。

put up withは　「文句を言わず我慢する」と言う漢字ですので、put up with youとなると、youはうるさいか、うっとうしいのでしょう。だから、これと間違うと相手とあなたとの間がかなり険悪になるので、できるだけそうならないようにしましょう。